[선형대수학] Linear Equation(일차방정식)

Linear Equation(일차방정식)

$n$개의 변수 $x_1 + x_2 + \ldots a_nx_n$의 linear equation은 다음과 같은 형태를 가진다.

$$a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots a_nx_n = b $$

여기서 $a_1$, $a_2$, $\ldots$ $a_n$ 부분을 coefficient라고 한다.

또한, coefficient 부분과 우항의 $b$에는 실수와 허수 아무거나 와도 상관없다.

 

이러한 Linear equation은 변수들의 곱이나 제곱근은 포함하지 않고, 보든 변수는 일차 곱으로만 나타난다.

따라서 다음의 두 식들은 linear equation이 아니다.

$$4x_1 - 3x_2 = x_1x_2$$

$$x_2 = \sqrt{x_1}-2$$

또한, 삼각함수, 로그함수, 지수함수 등은 나타나지 않는다. 즉, 아래의 식들 또한 linear equation이 아니다.

$$x + 2x^2 = 3$$

$$\sin{x} + y = 1$$

 

System of linear equation(연립일차방정식)

System of linear equation(연립일차방정식)이란, linear equation들의 유한집합을 말한다. 

간단하게 linear system(선형계)라고도 하며, 이는 아래와 같은 형태를 가진다.

$$\begin{aligned} x_1 - 2x_2 = -1 \\ -x_1 + 3x_2 = 3 \end{aligned}$$

 

이러한 system of linear equation이 있을 때, 가능한 해의 집합을 solution set이라고 한다.

만약 두 개의 linear system이 같은 solution set을 가진다고 하면, equivalent한 linear system이라고 한다.

 

또한, 일반적으로 적어도 하나 이상의 해를 가질 때 linear system이 consistent(일치한다)하다고 하고,

해가 없을 때에는 linear system이 inconsistent(불일치한다)하다고 한다.

 

Augmented matrix(첨가행렬)

다음과 같은 linear system이 있다고 가정해보자.

$$\begin{aligned} x_1 -2x_2 + x_3 = 0  \\ 2x_2  -8x_3 = 8  \\ -4x_1 + 5x_2 + 9x_3 = -9 \end{aligned}$$

이와 같은 linear system은 다음과 같은 matrix로 나타낼 수 있다.

$$\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9  \end{matrix} \right]$$

이와 같은 형태를 augmented matrix(첨가행렬)이라고 한다. 또한 우항을 제외하고 좌항만 포함한 행렬인

$$\left[ \begin{matrix} 1 & -2 & 1  \\ 0 & 2 & 8  \\ -4 & 5 & 9 \end{matrix} \right]$$

다음의 행렬은 coefficient matrix라고 한다.

 

Elementary row operations(기본 행연산)

linear system을 풀기 위해 augmented matrix에서 사용되는 기본 행 연산은 다음과 같다.

• 0이 아닌 상수를 한 행에 곱하기 (Scaling)
• 두 행을 바꾸기 (Replacement)
• 한 행의 상수배를 다른 행에 더하기 (interchange)